I controllori automatici - Parte 2

In questo progetto parlerò del controllore proporzionale simulando sempre la regolazione del livello dell'acqua di un serbatoio idrico.
Questi apparecchi intervengono per attuare una regolazione proporzionale all'errore cioè la differenza che c'è tra la grandezza misurata e quella di riferimento:

y = yo + Kp*errore = yo + Kp*(x - xo)

dove:

y :   segnale che esce dal controllore

yo : segnale legato ad xo cioè senza errore

xo : grandezza di riferimento

x   : grandezza misurata

Kp: coefficiente di proporzionalità detto anche guadagno proporzionale

Se Kp cresce, si ha un aumento di sensibilità e di rapidità che può portare, a parità di disturbo, ad un comportamento oscillatorio della variabile controllata e quindi ad una instabilità del sistema.

Banda proporzionale

Partendo dall'espressione y = yo + Kp*(x - xo) si può scrivere:

ymax = yo + Kp*(xmin - xo)

ymin = yo + Kp*(xmax- xo)

dove xmin ed xmax sono i valori estremi misurati della grandezza da controllare. Sottraendo membro a membro si ottiene:

ymax - ymin = Kp*xmin - Kp*xo - Kp*xmax + Kp*xo

ymax - ymin = - Kp*(xmax - xmin)

Si definisce banda proporzionale BP la differenza xmax - xmin che, in valore assoluto, è data da:

BP = Dy/Kp

Si nota che BP è inversamente proporzionale al Kp. Il segno meno dell'espressione suindicata sta a rappresentare che la caratteristica del regolatore ha una pendenza maggiore di 90°.

Riportando su un piano cartesiano la funzione  y = yo + Kp*(x - xo), si nota che essa rappresenta una retta con coefficiente angolare negativo.

La tangente dell'angolo alfa è pari a Kp. Se ymin e ymax sono costanti, al crescere di Kp si restringe la banda proporzionale BP. All'esterno di essa si va verso le posizioni limite che rappresentano la valvola di ingresso totalmente aperta (100%) o valvola chiusa (0%). Si deduce che:

1) aumentando Kp, migliora la risposta ma si riduce la banda;

2) diminuendo Kp, aumenta l'errore e cala la velocità di risposta.

Detto ciò, veniamo al progetto da realizzare.

La posizione di V è pari al 50% della sezione del tubo di ingresso. Ad essa corrisponde un livello yo che implica nel serbatoio un'altezza xo quando la portata Qi = Qu cioè in condizioni di equilibrio.

Supponiamo che ad un certo istante la sezione Su venga ridotta.

E' naturale che, mantenendo costante Qi, il livello dell'acqua debba salire e spingere verso l'alto il galleggiante. Automaticamente, questa azione, inizia a chiudere la valvola V fino a quando non si arriva ad una nuova condizione di equilibrio.

Se volessimo conoscere i tempi di assestamento del sistema, bisogna calcolare la costante di tempo del serbatoio.

Supponendo di chiudere la valvola di uscita, il tempo che impiega il serbatoio a riempirsi con portata Qi fino all'altezza xo rappresenta la costante di tempo T. In questo caso si ha:

T = Sb*xo/Qi

Come si nota, con xo e Qi costanti, T dipende in modo diretto dalla superficie Sb del serbatoio.

Più essa è grande maggiore è il tempo di riempimento e viceversa.

Tenendo conto che il tempo di regime è 4.5/5 * T, si nota che ci sarà una lenta risposta del sistema con Sb grandi mentre la velocità aumenterebbe con Sb piccole.

Dopo queste considerazioni, passiamo al progetto note che siano le condizioni limite, la condizione di regime, la posizione della valvola di ingresso prima del disturbo e quella della valvola di uscita dopo lo stesso disturbo.

Cominciamo da quest'ultima. Essa potrà muoversi con una escursione che va da -25% a +85% del valore impostato. In questo modo, con Qi = 160 litri/s, si avranno i valori di xmax = 18m ed xmin = 3m. Nelle condizioni di equilibrio, come si nota dalla caratteristica, sono xo = 10m ed yo = 10cm.

Facendo riferimento sempre alla caratteristica del regolatore, scelti due punti P e Q le cui x sono, rispettivamente, maggiore di 10m e minore di  18m,  minore di 10m e maggiore di 3m, applicando la similitudine dei triangoli (rettangoli in questo caso) si arriva alla conclusione:

y(P) = ymin + Kp*(xmax - x(P))

y(Q) = ymax - Kp*(x(Q) - xmin)

Basandoci su queste espressioni possiamo, una volta che è stato introdotto il disturbo, eseguire la regolazione proporzionale.

Per la realizzazione del progetto ho usato gli stessi componenti del precedente con l'aggiunta di un pulsante bianco e di due potenziometri che mi permettono di scegliere la sezione Su ed il Kp mentre il pulsante conferma, con la sua pressione, i valori prescelti.

Riassumendo:

1) display LCD 2004 con interfaccia I2C per mostrare come variano la Qi, la Qu, l'altezza h e la sezione Su;
2)quattro  pulsanti, uno giallo, uno verde, uno rosso ed uno bianco, che servono rispettivamente per avviare il processo, per introdurre il disturbo, per simulare la regolazione e per confermare la scelta di Su e di Kp;
3) tre led, di colore corrispondente ai pulsanti, che segnalano l'avvio del processo e l'oscillazione della regolazione intorno al setpoint;
4) un buzzer che emette un segnale acustico ogni volta che vengono superati o raggiunti i limiti del differenziale;
5) due potenziometri per la scelta della sezione di uscita Su e per quella del Kp.


Collegamenti:
a) display LCD
Due terminali all'alimentazione (+5V e GND) e gli altri due ai pin analogici A4(SDA) e A5(SCL);
b) pulsanti
Collegati all'alimentazione con un piedino a +5V e con l'altro, tramite una resistenza di 10 Kohm, al GND. A monte di essa si deriva un collegamento al pin digitale D8 (GIALLO), D9(VERDE), D10(ROSSO) e D11(BIANCO);
c) LED
Un terminale è collegato al GND tramite una resistenza di 220 ohm mentre l'altro (quello lungo) ai pin digitali D2(ROSSO), D3(VERDE) e D4(GIALLO);
d) buzzer
Connesso con un terminale al GND e con l'altro al pin digitale D7;
e) potenziometri
Collegati all'alimentazione tramite i morsetti esterni (+5V e GND) e con il morsetto centrale al pin analogico A0(Kp) e A1(Su). 

Il codice del progetto è disponibile al seguente link: Serb_Prop.